探偵事務所に依頼して調べてもらうにも手掛かりとなる情報が必要です。
調査に有効な情報としては下記の事があります。

1. 調査の対象者の氏名
2. 生年月日
3. 引越し前の住所
4. いつ頃引っ越したか
5. 家族の氏名などが分かれば

いつ引越しをするかが判明しているならその時に尾行するという方法もとることが可能でしょうが、よほどの確証と警戒していないことが前提となります。コストと発覚のリスクを考えるなら推奨はできない手段です。

なお、浮気の問題で探偵に住所を調べてもらう際は、慰謝料請求を有利に進めていくために浮気している証拠も同時に入手してもらうと良いかもしれません。その場合でも、まずは資料データからの調査を推奨しています。資料データからの調査ですと相手にも発覚することなく判明するので、後の調査により証拠を取得することも可能です。
もちろん、調査ですから100%判明するわけではありません、また住民票や戸籍からの違法な手段は一切行っていませんのでご安心ください。